\[xf'(x)=x^{2}+f^{2}(x)+f(x) \]
この微分方程式みて何を思うだろうか。
$f^{2}(x)$が邪魔である。リッカチ型の微分方程式っぽいけど、解けない。ふざけんな。
ここで、微分因子で考えようと思ったわけだ。ちょちょいと移行して。 \[xf'(x)-f(x)=x^{2}+f^{2}(x) \]
$a(x)$を両辺にかけて \[xa(x)f'(x)-a(x)f(x)=\left(x^{2}+f^{2}(x)\right)a(x) \]
左辺に注目して、積の微分公式になるように、$a(x)$を決める。
\[[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]
つまり、$a(x)$は以下の式を満たせばよいので、これは変数分離型の微分方程式であるので \[-a(x)=a(x)+xa'(x)\] \[a(x)=\frac{C}{x^{2}}\]
$C$は積分定数であり、$C=1$を使って整理すると、
\[\left[\frac{1}{x}f(x)\right]'=1+\left(\frac{f(x)}{x}\right)^{2}\]
\[y=\frac{f(x)}{x}\]
とおくと、
\[y'=1+y^{2}\]
に帰着させれる。 \[ \left[Tan^{-1}(x) \right]'=\frac{1}{1+x^{2}}\]
をつかえばいい。
